функция произвольного аргумента
t (заданная на множестве
Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причём для них существует определённое распределение вероятностей. Если множество
Т конечно, то С. ф. представляет собой конечный набор случайных величин (См.
Случайная величина)
, который можно рассматривать как одну векторную случайную величину. Из числа С. ф. с бесконечным
Т наиболее изучен важнейший частный случай, когда
t принимает числовые значения и является временем; соответствующая С. ф.
X (
t) тогда называется случайным процессом (См.
Случайный процесс) (а если время
t пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если же значениями аргумента
t являются точки из некоторой области многомерного пространства, то С. ф. называется случайным полем. Типичными примерами С. ф., отличных от случайных процессов, являются поля скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа, а также значения высоты
z взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо искусственной шероховатой пластинки.
Математическая теория С. ф. совпадает с теорией распределений вероятностей в функциональном пространстве значений функции
X (
t)
, эти распределения могут задаваться набором конечномерных распределений вероятностей для совокупностей случайных величин
X (
t1)
, X (
t2)
,...,
X (
tn)
, отвечающих всевозможным конечным подмножествам (
t1, t2,...,
tn) точек множества
Т, или же характеристическим функционалом С. ф.
X (
t)
, представляющим собой математическое ожидание случайной величины
il [X (t)], где
l [
X (
t)]
- линейный функционал от Х (
t) общего вида. Значительное развитие получила теория однородных случайных полей, являющихся частным классом С. ф., обобщающим класс стационарных случайных процессов (См.
Стационарный случайный процесс)
.
Лит.: Выбросы случайных полей Сб. ст. М., 1972; Yaglom А. М., Second-order homogeneous random fields, в кн.: Proceedings 4th Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, v. 2, Berk - Ins Aug., 1961; Whittle P., Stochastic processes in several dimensions, "Bulletin of the Institute of Statistics", 1963, v. 40.